不动点环与 EFX 分配

我们研究完全双向图 $\overset{\tiny\leftrightarrow}{K}_n$ 的边标记，其标记为从集合 $[d] = \{1, \dots, d\}$ 到自身的函数。若 $\overset{\tiny\leftrightarrow}{K}_n$ 中一个环的边标记复合后得到的映射具有不动点，则称该环为不动点环；若不存在任何不动点环，则称该标记为无不动点标记。对于给定的 $d$，我们寻求最大的 $n$ 值，记为 $R_f(d)$，使得 $\overset{\tiny\leftrightarrow}{K}_n$ 存在无不动点标记。确定所有 $d >0$ 的 $R_f(d)$ 是一个自然的拉姆齐型问题，推广了极值组合学中一些被充分研究的零和问题。该问题最近由 Chaudhury、Garg、Mehlhorn、Mehta 和 Misra 提出，他们证明了 $d \leq R_f(d) \leq d^4+d$，并表明该问题与 EFX 分配（社会选择理论中公平分配的核心问题）有紧密关联。本文中我们给出了改进界 $R_f(d) \leq d^{2 + o(1)}$，从而得到高效的 ${{(1-\varepsilon)}}$-EFX 分配，具有 $n$ 个 agent 与 $O(n^{0.67})$ 个未分配物品，对任意常数 $\varepsilon \in (0,1/2]$ 成立；这改进了 Chaudhury、Garg、Mehlhorn、Mehta 和 Misra 的 $O(n^{0.8})$ 界。此外，在所有边标记为置换的情形下，我们证明了更强的上界 $2d-2$。该问题的一个非常特殊的情形，即在边标记为 $\mathbb{Z}_d$ 中元素的有向图中寻找零和环，最近由 Alon 与 Krivelevich 以及 M\'{e}sz\'{a}ros 与 Steiner 考虑。我们的结果改进了这些作者所获得的界，并将其推广到来自任意（不必交换的）群的标记，同时简化了证明。