作为态空间中的凝聚的一阶量子相变

我们证明了一大类的二阶量子相变，即每粒子基态能量连续但其一阶导数存在跳跃间断的相变，可以被描述为态空间中的凝聚。给定一个哈密顿量为 $H=K+gV$ 的系统，其中 $K$ 和 $V$ 是作用于态空间 $\mathbb{F}$ 的两个不交换算符，我们总可以写出 $\mathbb{F}=\mathbb{F}_\mathrm{cond} \oplus \mathbb{F}_\mathrm{norm}$，其中 $\mathbb{F}_\mathrm{cond}$ 是由 $V$ 的具有最小特征值的本征态张成的子空间，而 $\mathbb{F}_\mathrm{norm}=\mathbb{F}_\mathrm{cond}^\perp$。如果在热力学极限下 $M_\mathrm{cond}/M \to 0$，其中 $M$ 和 $M_\mathrm{cond}$ 分别是 $\mathbb{F}$ 和 $\mathbb{F}_\mathrm{cond}$ 的维数，则上述 $\mathbb{F}$ 的分解变得有效，其意义在于系统的每粒子基态能量 $\epsilon$ 与系统分别限制在子空间 $\mathbb{F}_\mathrm{cond}$ 和 $\mathbb{F}_\mathrm{norm}$ 时的每粒子基态能量 $\epsilon_\mathrm{cond}$ 和 $\epsilon_\mathrm{norm}$ 中的较小者一致：$\epsilon=\min\{\epsilon_\mathrm{cond},\epsilon_\mathrm{norm}\}$。于是可能发生如下情形：作为参数 $g$ 的函数，能量 $\epsilon_\mathrm{cond}$ 和 $\epsilon_\mathrm{norm}$ 在 $g=g_\mathrm{c}$ 处交叉。此时，在凝聚相（系统限制在小子空间 $\mathbb{F}_\mathrm{cond}$ 中）与正常相（系统分布在大子空间 $\mathbb{F}_\mathrm{norm}$ 中）之间发生一阶量子相变……