有界秩张量上的一阶方法收敛于平稳点
最优化与控制
2026-05-14 v2 数值分析
代数几何
数值分析
摘要
寻找有界秩张量的平稳点是一个尚未解决的难题 [E. Levin, J. Kileel, 和 N. Boumal, Math. Program., 199 (2023), pp. 831--864]，其根源在于有界秩张量集合固有的非光滑性。与有界秩矩阵相比，某些模式为全秩而其他模式非全秩的张量，在开发可证明收敛的一阶方法方面带来了根本性难题。我们通过提出两种具有平稳点收敛保证的一阶方法来解决这一问题。具体而言，我们重新审视了有界秩张量的变分几何，显式描述其正锥。此外，我们提出了梯度相关的近似投影方法，可证明找到平稳点，其中决定性要素是来自切锥的梯度相关向量、沿近似投影的线搜索以及近秩不足点处的秩减机制。在张量完成数值实验中验证了所提方法在各种秩参数下均收敛于平稳点。
引用
@article{arxiv.2503.04523,
title = {First-order methods on bounded-rank tensors converging to stationary points},
author = {Bin Gao and Renfeng Peng and Ya-xiang Yuan},
journal= {arXiv preprint arXiv:2503.04523},
year = {2026}
}
备注
29 pages, 9 figures