齐次向量场的首次积分与几何光学的本征镜问题

本征镜问题询问：“何时曲面在曲面镜中的反射对观察者而言显得无失真？”我们将这样的曲面称为本征曲面，将对应的镜面称为本征镜。本征镜问题的数据由一个齐次变换 ${\bf H}:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ 构成，该变换编码了两位观察者以“相同方式”看到曲面意味着什么。该问题的一个解是一个可微 2-流形，它 (1) 满足一个称为反程函方程的一阶偏微分方程，且 (2) 满足确保光线从镜面反射时具有物理意义行为的某些侧边不等式。尽管这些侧边不等式最初看似是特定的全局限制，我们证明了在合理条件下，反程函方程特征流的积分曲线可能不会与本征镜的边界相交。因此，在这些情况下，本征镜在特征流下是不变的。我们给出了展示我们结果的几个示例。