寻找多终端间最大边不交路径

设 $G=(V,E)$ 为具有终端集合 $T\subseteq V$ 的重图。若 $G$ 中一条路径的端点为 $T$ 中不同顶点且内部顶点均不属于 $T$，则称其为 $T$-路径。1978 年，Mader 给出了最大边不交 $T$-路径数的刻画。本文给出一种组合式的确定性算法，用于寻找最大数量的边不交 $T$-路径。该算法采用增广路径方法。更具体地，我们利用辅助标记图中短增广游动的新概念来刻画边不交 $T$-路径数量的可能增广。为设计短增广游动的搜索过程，我们引入类似于 Edmonds (1965) 匹配算法中的 blossom（花）。当搜索过程终止而未找到短增广游动时，算法给出当前边不交 $T$-路径最优性的证书。由该证书可得到 Seb\H{o} 和 Szeg\H{o} (2004) 引入的 Edmonds–Gallai 型分解。算法运行时间为 $O(|E|^2)$，远快于基于归约到线性拟阵奇偶性的已知最佳确定性算法。我们还给出了最大整数自由多流问题的强多项式算法，该问题要求满足边容量约束的 $T$-路径的非负整数组合，以最大化系数之和。