滤幅与图谱积分类的上同调

设 $p$ 为一个素数。我们解决了 Min\'a\v{c}-Rogelstad-T\^an 提出的一个问题。我们在无 torsion 条件下，将 Zassenhaus 级数与下中心级数（lower central series）的 pro-$p$ 群进行关联。我们还研究了在自然假设下的（pro-$p$）群的图谱积。在 particular 中，我们计算与前述滤幅相关的graded Lie代数以及它们在 $\mathbb{F}_p$ 上的上同调。我们的ethods依赖于Leoni的博士论文中研究的合成积的各种滤幅。通过 Koszul性质提供了具体例子。作为一个具体的应用，我们计算了图谱积中基本群为 surfaces 的群在 $\mathbb{F}_p$ 上的上同调以及与滤幅相关的graded Lie代数。这些群提供了满足无torsion条件的新实例，这一条件出现在Min\'a\v{c}-Rogelstad-T\^an的问题中。