形数与整数幂和

最近,Marko 与 Litvinov (ML) 猜想:对所有正整数 $n$ 与 $p$,$n$ 的 $p$ 次幂可表示为 $n^p = \sum_{\ell =0}^{p-1} (-1)^{l} c_{p,\ell} F_{n}^{p-\ell}$,其中 $F_{n}^{p-\ell}$ 为维数 $p-\ell$ 的第 $n$ 个超四面体数,$c_{p,\ell}$ 表示通过切割 $p$ 维立方体 $0 \leq x_1, x_2, \ldots, x_p \leq n-1$ 所形成的 $(p-\ell)$ 维面的个数。本文证明 ML 猜想对每个自然数 $p$ 均成立。我们的证明依赖于如下事实:ML 猜想成立必然蕴含 $c_{p,\ell} = (p-\ell)! S(p, p-\ell)$,其中 $S(p,p-\ell)$ 为第二类 Stirling 数。此外,我们给出若干等价公式,将幂和 $\sum_{i=1}^{n} i^p$ 表示为形数的线性组合。