$\infty$-cosmos中的纤维化与米田引理

我们使用术语 $\infty$-范畴和 $\infty$-函子来指代 $\infty$-宇宙中的对象和态射：一个满足若干公理的单纯充实范畴，令人联想到 fibrant 对象的充实范畴。拟范畴、Segal 范畴、完备 Segal 空间、带标记单纯集、迭代完备 Segal 空间、$\theta_n$-空间，以及它们各自的纤维版本，都是这种意义上的 $\infty$-范畴。本系列先前的工作表明，$\infty$-范畴和 $\infty$-函子的基本范畴论可以仅参照 $\infty$-宇宙的公理来发展；事实上，大部分工作在同伦 2-范畴（一个由 $\infty$-范畴、$\infty$-函子和自然变换构成的严格 2-范畴）内部进行。在拟范畴的 $\infty$-宇宙中，我们精确地重新获得了 Joyal 和 Lurie 所发展的同一范畴论，尽管我们的定义是 2-范畴式的自然定义，没有利用区分各模型的组合细节。在本文中，我们引入笛卡尔纤维化（一类特定的 $\infty$-函子）及其广群变体。笛卡尔纤维化构成了 a la Street 的“类范畴”结构抽象处理的基石，并在 Lurie 关于拟范畴的工作中扮演重要角色。在建立其基础理论后，我们陈述并证明了米田引理，其形式为从可表纤维化出发的映射拟范畴与在其表示元素上的纤维所底层的拟范畴之间的等价。一篇 companion paper 将应用这些结果建立 $\infty$-范畴之间模的微积分，用于定义和研究沿 $\infty$-函子的逐点 Kan 扩张。