生育率的单调性与栈排序映射的平均复杂度

令 $\mathcal D_n$ 表示 West 栈排序映射 $s$ 将 $S_n$ 中一个排列排序为单位排列 $123\cdots n$ 所需的平均迭代次数。我们证明 $$0.62433\approx\lambda\leq\liminf_{n\to\infty}\frac{\mathcal D_n}{n}\leq\limsup_{n\to\infty}\frac{\mathcal D_n}{n}\leq \frac{3}{5}(7-8\log 2)\approx 0.87289,$$ 其中 $\lambda$ 为 Golomb-Dickman 常数。我们的下界改进了 West 的 0.23 下界，且我们的上界是对平凡上界 $1$ 的首次改进。接着我们证明排列的生育率在 $s$ 的迭代下单调增加。更确切地，我们证明对所有 $\sigma\in S_n$ 有 $|s^{-1}(\sigma)|\leq|s^{-1}(s(\sigma))|$，且等号成立当且仅当 $\sigma=123\cdots n$。这是首个体现 B\'ona 所提出的栈排序映射收益递减律哲学的定理。在此过程中，我们指出了栈排序映射与 $S_n$ 上左右弱序的一些联系。