匿名博弈中的容错均衡：最优响应对应与不动点

容错纳什均衡的概念被引入作为研究纳什均衡稳健性的一种方式。在该概念下，允许固定数量的参与者表现出故障行为，即他们可能任意偏离均衡策略。在具有 $N$ 个参与者的博弈中，若只要 $N-\alpha-1$ 个其他参与者采用均衡策略，非故障用户便不愿偏离均衡策略，则称该纳什均衡为 $\alpha$-容错，即它对 $\alpha$ 个故障参与者的非理性偏离具有稳健性。在先前工作中，$\alpha$-容错主要被视为给定纳什均衡的一个性质。此处我们转而遵循纳什证明均衡存在性的方法，即通过最优响应对应与不动点论证。由此，我们给出了 $\alpha$-容错均衡存在的充分条件。这涉及首先定义 $\alpha$-容错最优响应对应：给定非故障参与者的策略剖面，该对应包含给定故障参与者任意策略剖面下构成最优响应的非故障参与者的策略。我们证明若该对应非空，则它是上半连续的。这使我们能够应用 Kakutani 不动点定理，并论证若其对每个非故障参与者的策略剖面均非空，则存在 $\alpha$-容错均衡。然而，我们也通过例子说明，在许多博弈中该最优响应对应对某些策略剖面为空，尽管 $\alpha$-容错均衡仍然存在。