更快的卷积：再探 Yates 与 Strassen

给定有限域 $D$ 上的两个向量 $u,v \in \mathbb{Q}^D$ 以及函数 $f : D\times D\to D$，卷积问题要求计算向量 $w \in \mathbb{Q}^D$，其分量定义为 $w(d) = \sum_{\substack{x,y \in D \\ f(x,y)=d}} u(x)v(y)$。在参数化算法和指数时间算法中，乘积域上的卷积尤为突出：此处固定有限域 $B$ 和函数 $h : B \times B \to B$，并在乘积域 $D = B^k$ 上进行卷积，使用将 $h$ 坐标-wise 应用于其输入元组的函数 $h^k :D \times D\to D$。我们通过多重线性代数为乘积域卷积提供了一种新视角。该观点简化了现有算法（如 van Rooij 等人，ESA 2009）的表述与分析。此外，利用快速矩阵乘法理论中的既有结果，我们推导出改进的 $O^\ast(|B|^{2\omega/3 \cdot k}) = O(|D|^{1.582})$ 时间算法，改进了 Esmer 等人（Algorithmica 86(1), 2024）先前给出的对于 $c < 1$ 形如 $c^k |B|^{2k}$ 的上界。使用本文所述的设定，代数计算复杂性理论中 Strassen 的渐近秩猜想将意味着准线性 $|D|^{1+o(1)}$ 时间算法。该猜想近期在算法界引起了关注。（Björklund-Kaski 与 Pratt，STOC 2024；Björklund 等人，SODA 2025）本文旨在为算法受众提供自成体系的阐述，包含所有必要的数学先决条件和显式的基于坐标的符号表示。特别地，我们不需要抽象代数知识。