基于 Baur-Strassen 定理的确定性稀疏模式匹配

你能多快检测夜空中一组恒星星座是否出现？该问题可建模为计算问题：在某 prescribed 变换群下，测试点集 $P$ 能否移动至另一点集 $Q$ 中（或接近 $Q$）。考虑一个简单代表：如下问题——给定两个至多 $n$ 个整数的集合 $P,Q\subseteq[N]$，确定是否存在某平移 $s$ 使得 $P$ 平移 $s$ 后为 $Q$ 的子集，即 $P+s=\{p+s:p\in P\}\subseteq Q$。我们称此问题为星座问题，它可由蒙特卡洛随机算法 [Cardoze, Schulman; FOCS'98] 在近线性时间 $O(n\log n)$ 内求解，并由拉斯维加斯随机算法 [Cole, Hariharan; STOC'02] 在 $O(n\log^2 N)$ 时间内求解。此外，存在运行时间 $n\cdot2^{O(\sqrt{\log n\log\log N})}$ 的确定性算法 [Chan, Lewenstein; STOC'15]。先前工作留下的一个有趣问题是：星座问题是否存在确定性近线性时间（即仅多对数开销）算法。我们肯定地回答了该问题，给出了星座问题的 $n\cdot(\log N)^{O(1)}$ 时间确定性算法。我们的算法推广到高维下各种更复杂的点模式匹配问题，包括平移和刚体运动下、可能带不匹配的情况，也给出了字符串上稀疏通配符匹配问题的近线性时间去随机化。我们发现获得确定性算法的方式尤为有趣。所有先前算法基于同一基线思想，使用加性哈希与快速傅里叶变换。相反，我们的算法基于新思路，涉及组合与代数技术的惊人融合。其核心是对代数复杂度理论中 Baur-Strassen 定理的创新应用。