任意精度的快速固定维度 L2-子空间嵌入，及其在 L1 与 L2 任务中的应用

我们给出从 $A\in \mathbb{R}^{n x d}$ 到 $B\in \mathbb{R}^{r x d}$ 的快速忽略型 L2-嵌入，满足 $(1-\varepsilon)\|A x\|_2^2 \le \|B x\|_2^2 <= (1+\varepsilon) \|Ax\|_2^2.$ 我们的嵌入维度 $r$ 等于 $d$，一个独立于失真度 $\varepsilon$ 的常数。我们将任意 L2-嵌入 $\Pi^T A$ 作为黑盒使用，并继承其运行时间与精度，从而有效地将维度 $r$ 与运行时间和精度解耦，使下游机器学习应用能够同时受益于低维度与高精度（在先前的嵌入中，更高精度意味着更高维度）。我们给出了 L2-嵌入在回归、PCA 和统计杠杆分数上的应用。我们还给出了在 L1 上的应用：1.) 维度为 $d+O(d\ln^{1+\eta} d)$、失真度为 $O((d\ln d)/\ln\ln d)$ 的忽略型 L1-嵌入，并应用于构造良态基；2.) 利用我们的 L2 嵌入快速近似 L2-杠杆分数，从而实现 L1-Lewis 权重的快速近似。