快速DCT+：基于路径图秩一更新的快速变换族
信号处理
2024-09-16 v1 数据结构与算法
摘要
本文针对路径图的秩一更新，开发了具有 O(n log n) 运行时复杂度的快速图傅里叶变换（GFT）算法。我们首先证明了几种常用的音视频编码变换属于这一类 GFT，我们将其命名为 DCT+。接下来，从任意广义图拉普拉斯算子出发，利用秩一扰动理论，我们给出了扰动后 GFT 的分解。这个分解是我们的核心结果，它揭示了一种递进结构：我们首先应用未扰动拉普拉斯算子的 GFT，然后将结果乘以一个柯西矩阵。通过将此分解特化到路径图并利用柯西矩阵的性质，我们证明了快速 DCT+ 算法的存在性。我们还证明了，在涉及多个相关变换（例如视频编码）的应用中，结合剪枝策略，递进性可以加速计算。我们的结果可以推广到其他图和秩 k 更新。运行时分析表明，对于规模大于 64 的图，Fast DCT+ 相比朴素方法具有计算优势，其运行时间大约相当于 8 次 DCT 的运算量。
引用
@article{arxiv.2409.08970,
title = {Fast DCT+: A Family of Fast Transforms Based on Rank-One Updates of the Path Graph},
author = {Samuel Fernández-Menduiña and Eduardo Pavez and Antonio Ortega},
journal= {arXiv preprint arXiv:2409.08970},
year = {2024}
}