Artinian Gorenstein 代数边界基的快速算法

给定一个多重指标序列 $\sigma$，我们提出一种新的高效算法来计算 $\sigma$ 各项之间线性递推关系的生成元。我们通过将多重指标序列、多元形式幂级数与多元多项式环上的线性泛函等同，将该问题转化为一个代数问题。在此设定下，递推关系是对应于 $\sigma$ 的 Hankel 算子 $H_\sigma$ 的核 $I_\sigma$ 中的元素。我们描述了具有有限秩 Hankel 算子的多重指标序列与 Artinian Gorenstein 代数之间的对应关系。我们展示了与序列 $\sigma$ 相关的 Artinian Gorenstein 代数 $A_\sigma$ 的代数结构如何给出所有 $\alpha \in \mathbb{N}^n$ 项 $\sigma_\alpha$ 的结构。该结构由 $A_\sigma$ 的一个边界基显式给出，其表示为多项式环 $K[x_1,\dots,x_n]$ 模去 Hankel 算子 $H_\sigma$ 的核 $I_\sigma$ 的商。该算法提供了构成边界基的 $I_\sigma$ 的生成元、$A_\sigma$ 的两两正交基以及在这些基中变量乘法的表格。它是 Berlekamp-Massey-Sakata (BMS) 算法的扩展，具有改进复杂度界。我们给出了该方法在不同问题中的应用，如函数分解为指数函数的加权和、稀疏插值、代数码的快速解码、点的消失理想计算以及张量分解。一些基准测试说明了该算法的实际表现。