平移核分解用于快速刚性图像对齐

许多图像对齐方法的一个重要组成部分是计算$n\times n$像素图像与另一幅平移一定位移并旋转一定角度的图像间的内积（相关性）。对于图像对的鲁棒对齐，所考虑的位移和角度数量通常很大，因此内积计算成为瓶颈。基于快速傅里叶变换（FFTs）的现有方法每对图像的计算复杂度为$\mathcal{O}(n^3 \log n)$，若仅需$N$个不同位移则降至$\mathcal{O}(N n^2)$。我们提出使用平移核分解（FTK），一种最优插值方法，它在Fourier--Bessel基中表示图像，并通过算子奇异值分解（SVD）使用平移核的秩-$H$近似。其每对图像的复杂度为$\mathcal{O}(Hn(n + N))$。我们证明$H = \mathcal{O}((W + \log(1/\epsilon))^2)$，其中$2W$为所需最大位移的像素幅度，$\epsilon$为期望精度。对于固定$W$，当$N$较大（例如考虑亚像素位移网格时）可实现加速。最后，我们在电子冷冻显微镜应用中给出数值结果，显示相对于当前最优方法加速因子为$3$-$10$。