形如 $f(x^n)\in \mathbb{F}_q[x]$ 的多项式因式分解

设 $f(x)\in \mathbb{F}_q[x]$ 为次数 $m$、指数 $e$ 的不可约多项式，$n$ 为满足对 $n$ 的所有素因子 $p$ 均有 $\nu_p(q-1)\ge \nu_{p}(e)+\nu_p(n)$ 的正整数。我们给出了一个确定 $f(x^n)$ 不可约因子的快速算法。我们还给出了当 ${\rm rad}(n)$ 整除 $q-1$ 且 ${\rm gcd}(m, n)=1$ 时的不可约因子。最后，利用该算法，在 $n=2^mp^t$ 且 $q$ 为群 $\mathbb{Z}_{p^2}^*$ 的生成元的情况下，我们将 $x^n-1$ 分解为不可约因子。