与图的基数冗余相关的极值问题

图 $G$ 的一个支配集是一个顶点集 $D$，使得对所有 $v \in V(G)$，要么 $v \in D$，要么对某个 $d \in D$ 有 $(v,d) \in E(G)$。顶点集 $S$ 的基数冗余 $CR(S)$ 是 $V(G)$ 中满足 $|N[x] \cap S| \geq 2$ 的顶点个数。$G$ 的基数冗余是所有支配集 $S$ 上 $CR(S)$ 的最小值。达到 $CR(G)$ 的集合称为 $\gamma_{cr}$-集，最小 $\gamma_{cr}$-集的大小为 $\gamma_{cr}(G)$。我们给出了给定顶点数与给定基数冗余的图的最大边数。在 $CR(G)=0$、1 或 2 的情形下，我们给出了 $\gamma_{cr}(G)$ 固定时图的边数的最小值与最大值。当边数固定且 $CR(G)=0,1$ 时，我们给出了 $\gamma_{cr}(G)$ 的最小值与最大值；当边数固定且 $CR(G)=2$ 时，我们给出了 $\gamma_{cr}(G)$ 的最大值。