非马尔可夫过程的探索与老化

本论文探讨了一个核心问题：记忆如何影响随机行者的空间探索方式。通过分析各种非马尔可夫模型，其中过去的行为直接影响未来的动力学，我们发现了新的机制和普遍模式。第一部分中，我们研究局部激活随机行走 (Locally Activated Random Walks, LARWs)，其中运动取决于在访问的站点上花费的时间。尽管这些行走仅由简单定义，但显示出丰富的行为，如动力学捕获、老化和非高斯扩散。我们确定了约束条件，揭示了动力学相变，并在几个规模下推导了精确结果。第二部分聚焦于自互动随机行走 (Self-Interacting Random Walks, SIRWs)，其中行者自身的历史决定未来的步骤。利用先进的概率工具，尤其是 Ray-Knight 理论，我们计算了诸如分裂概率、持久性、第一次到达时间、访问站点数以及老化效应等可观测量的精确结果。这包括饱和自吸引行走 (SATW) 模型中老化可观测量的第一个精确表达式。在第三部分，我们提出了一个统一框架来描述空间探索中记忆效应，基于行者随时间反转方向的倾向。这一方法在包括分数布朗运动和强自互动真正自避行走 (True Self-Avoiding Walk, TSAW) 在内的广泛非马尔可夫模型中揭示了稳健的模式，其中我们推导了非饱和系统中老化可观测量的第一个精确结果。总体而言，这些结果表明，尽管记忆驱动的系统虽复杂，却可呈现普遍结构。本工作提供了分析此类动力学的新工具，为物理学、概率论等领域的未来研究奠定了基础。