扩展图 $\ell_0$ 解码

我们引入了两种新算法 Serial-$\ell_0$ 和 Parallel-$\ell_0$，用于求解大型欠定线性方程组 $y = Ax \in \mathbb{R}^m$，当已知 $x \in \mathbb{R}^n$ 至多具有 $k < m$ 个非零项且 $A$ 是不平衡左 $d$-正则扩展图的邻接矩阵时。这类矩阵是稀疏的并允许高效实现。许多算法被设计用于专门在此设置下工作，构成了组合压缩感知（CCS）分支。Serial-$\ell_0$ 和 Parallel-$\ell_0$ 通过成功结合先前 CCS 算法的两个期望特征：ER 的信息保留策略和 SMP 的并行更新机制，迭代地最小化 $\|y - A\hat x\|_0$。我们能够联系这些元素并假设信号是解离的（意味着 $x$ 的支撑的所有 $2^k$ 子集和两两不同）来保证在 $\mathcal{O}(dn \log k)$ 次操作内收敛。然而，我们经验上观察到信号在实践中不必精确解离。此外，我们观察到当测量数远小于信号长度时，Serial-$\ell_0$ 和 Parallel-$\ell_0$ 能够以解决更大比例非零项的大规模问题，而其他算法不能；特别地，它们能够从 $m$ 个扩展图测量中可靠地求解 $n$ 中的 $k$-稀疏向量 $x$，其中 $n/m=10^3$ 且 $k/m$ 高达由来自稠密高斯测量的 $\ell_1$-正则化可实现的四倍。另外，观察到 Serial-$\ell_0$ 和 Parallel-$\ell_0$ 能在比其他压缩感知算法少得多的时间内解决大规模问题。特别地，Parallel-$\ell_0$ 被构造为利用大规模并行架构。