尖点区域中反射扩散的存在性与唯一性

我们考虑在原点处具有尖点的 $2$ 维区域中带有（斜向）反射的随机微分方程，即在原点的某个邻域内具有形式为 $\{(x_1,x_2):0<x_1\leq\delta_0,\psi_1(x_1)<x_2<\psi_ 2(x_1)\}$ 的区域，其中 $\psi_1(0)=\psi_2(0)=0$，$\psi_1'(0)=\psi_2'(0)=0$。给定一个在原点以外边界点处表示反射方向的向量场 $\gamma$，通过定义原点处的反射方向为 $\gamma^i(0):=\lim_{x_1\rightarrow 0^{+}}\gamma (x_1,\psi_i(x_1))$，$i=1,2,$，并假设存在一个向量 $e^{*}$ 使得 $\langle e^{*},\gamma^i(0)\rangle >0$，$i=1,2$，且 $e^{*}_1>0$，我们证明了从原点出发的解的弱存在性与唯一性，以及从非原点出发的解的强存在性与唯一性。我们的证明使用了一个新的尺度变换结果和一个耦合论证。