置换自动机接受态谱的精确计算：关于翻转操作的 Rauch--Holzer 猜想

我们精确确定了置换自动机翻转操作的接受态谱，从而证明了关于该操作的 Rauch--Holzer 猜想。对于每一个 $m \ge 2$ 和每一个 $\alpha \ge 2$，我们构造了一个二进制置换自动机 $A_{m,\alpha}$，使得 $\operatorname{asc}(L(A_{m,\alpha}))=m$ 且 $\operatorname{asc}(L(A_{m,\alpha})^R)=\alpha$。结合平凡情形 $m=0$ 和 $m=1$，以及已知的 $1$ 在每个 $m \ge 2$ 情形下都是奇数的事实，这给出确切的谱 $g^{\operatorname{asc}}_{R,\mathrm{PFA}}(0)=\{0\}$，$g^{\operatorname{asc}}_{R,\mathrm{PFA}}(1)=\{1\}$，以及 $g^{\operatorname{asc}}_{R,\mathrm{PFA}}(m)=\mathbb{N}_{\ge 2}$（当 $m \ge 2$ 时）。因此，翻转操作在置换自动机上具有与单个非平凡障碍值 $1$ 相容的最简单确切接受态谱。该证明使用了统一的群论见证族：前向自动机的状态是 $[n]$ 的 $\alpha$ 子集，在由一个 $n$ 循环和一个换位生成的作用下，接受状态形成单个星族。翻转后，可达子网状结构恰好是星族。这使得我们能够精确计数接受可达状态，并证明可达逆自动机的最小性。