整数矩阵幂的 Smith 型的最终周期性

我们证明了整数方阵幂的 Smith 型最终呈周期性行为。更准确地说，如果 $\mathrm{SF}(M)$ 表示 $M \in \Z^{m \times m}$ 的 Smith 型，则对于每一个 $A \in \Z^{m \times m}$，存在 $n_0 \in \N$、整数 $T \ge 1$ 以及常数对角矩阵 $D \in \Z^{m \times m}$，使得当 $n \ge n_0$ 时，$\mathrm{SF}(A^{n+T})=D \cdot \mathrm{SF}(A^n)$。这对 2013 年 R. Bruner 提出的猜想提供了最终肯定的答案。我们还表明 $n_0$ 和 $T$ 可以是任意大的。