从超奇异椭圆曲线计算模多项式

我们提出了几种新算法，用于在输入 $j$ 上计算模 $p$ 的 $\ell$ 级模多项式。更精确地说，我们引入了两种新的通用算法，它们具有以下相似之处：基于 CRT 方法；利用了超奇异曲线和 Deuring 对应；并且内存需求是最优的。第一种算法结合了 Sutherland 在2013年提出的混合算法背后的思想，以及 Leroux 在2023年引入的利用超奇异曲线计算模多项式的最新算法。所得算法的复杂度（在几个合理的启发式假设下）与 Sutherland 已知最佳算法的 $\Tilde{O}(\ell^3 \log^{3} \ell + \ell \log p)$ 时间复杂度相匹配，但具有最优的内存需求。我们的第二种算法基于一个子算法，该子算法可以高效地计算定义在 $\Fp$ 上的超奇异 $j$ 不变量上的模多项式，并实现了在 $\ell$ 和 $\log j$ 上均为二次、在 $\log p$ 上为线性的启发式复杂度。特别地，它是第一个在 $\ell$ 上实现二次复杂度且具有最优内存需求的通用算法。此外，我们展示了如何将我们的方法应用于其他类型模多项式的计算，例如源自 Weber 函数的模多项式。最后，我们提供了本文详述的两种算法的优化实现，但需要强调的是，我们代码库中的各种模块可能在本文之外的其他应用中发挥作用。