Pulverizing 模多项式的拟线性时间算法

我们分析并比较了若干计算模多项式算法的复杂度。研究表明，一种基于模函数浮点求值与插值、在文献中较少受到关注的算法，其复杂度在本质上（至多相差对数因子）与计算所得多项式的规模呈线性关系。特别地，该算法可在时间 $O(\ell^3 \log^4 \ell \log \log \ell)$ 内获得素数级 $\ell$ 的经典模多项式 $\Phi_\ell$。除处理 $\Gamma^0(\ell)$ 的模多项式（其为众多涉及椭圆曲线同源算法的重要组成）外，该算法易于推广至更一般的情形。合数级与素数级的处理同样简便在位，以及模函数与其素数级变换之间的多项式（如 Schl\"afli 多项式及其推广）亦然。我们的分布式实现验证了理论分析，在十个处理器上用时不到两周即计算出级数约 10000 的模方程。