$\eta$ 正规化与泛函测度

在本文中，我们重新审视了 Fujikawa 关于手征反常的路径积分表述，并发展了一个系统定义正规化泛函测度的广义框架。此构造将 $\eta$ 正规化方案扩展到算子语言，使得谱不对称性与测度变换之间的联系完全显式化。在从正规化测度恢复 Fujikawa 的手征反常表达式之前，我们探索了与反常相关的病态谱求和的深层数论结构，并通过平滑渐近的视角对其进行解释。我们的方法统一了两种互补的观点：Fujikawa 的解析正规化与 Atiyah-Singer 指标定理给出的拓扑刻画。我们进一步研究了测度在正规化尺度变化下的变换方式，并推导出一个编码这种依赖性的函数 $\iota_E(\Lambda)$，展示了其 Mellin 矩如何支配发散的出现。最后，我们评述了正规化测度、$\eta$ 正规化与广义 Schwinger 固有时形式之间的概念关系，并特别关注了二维 Schwinger 模型。