碎片方程中分裂率与核的估计

我们考虑碎片方程 $\dfrac{\partial}{\partial t}f (t, x) = --B(x)f (t, x) + \int\_{ y=x}^{ y=\infty} k(y, x)B(y)f (t, y)dy,$ 并探讨从多个时刻的尺寸分布 $f (t, \times)$ 的测量中估计碎片参数——即分裂率 $B(x)$ 与碎片核 $k(y, x)$——的问题。对于任何尺寸由实验测量而碎片率未知的应用，这都是自然的问题，例如参见（Xue, Radford, Biophys. Journal, 2013）关于淀粉样纤维断裂的研究。在多项式分裂率 $B(x) = \alpha x^{\gamma}$ 与自相似碎片核 $k(y, x) = \frac{1}{y} k\_0 (x/ y)$ 的假设下，我们利用（Escobedo, Mischler, Rodriguez-Ricard, Ann. IHP, 2004）中证明的渐近行为，获得三元组 $(\alpha, \gamma, k \_0)$ 的唯一性与 $k\_0$ 的表示公式。为反演此公式，精细点之一是证明渐近剖面的 Mellin 变换从不为零，我们通过使用 Cauchy 积分做到了这一点。