秩一矩阵估计中近似消息传递与低次多项式的等价性

我们考虑如下问题：给定秩一矩阵 ${\boldsymbol \theta}{\boldsymbol \theta}^{\top}$ 的含噪观测 ${\boldsymbol Y} = {\boldsymbol \theta}{\boldsymbol \theta}^{\top}/\sqrt{n}+{\boldsymbol Z}$，其中 ${\boldsymbol Z}$ 具有独立高斯项，估计未知参数向量 ${\boldsymbol \theta}\in{\mathbb R}^n$。当关于 ${\boldsymbol \theta}$ 各分量分布的信息可得时，谱方法已知严格次优。已有工作刻画了最优估计器所达精度的渐近性质。然而，尚无已知多项式时间估计器能达到该精度。有猜想认为这一统计-计算鸿沟是根本性的，且多项式时间估计器所能达到的最优精度与某些近似消息传递 (AMP) 算法所达精度一致。我们通过证明在（更宽泛的）常次多项式类中无任何估计器能超越 AMP，为该猜想提供了证据。