准晶体上广义 Frenkel-Kontorova 模型的平衡构型

我研究一类广义 Frenkel-Kontorova 模型，其势由几乎周期函数给出，这些函数与具有有限局部复杂度的非周期 Delone 集密切相关。由于此类 Delone 集可作为准晶体的良好模型，该框架给出了自 Shechtman 发现准晶体以来所发现的这类非周期晶体的 Frenkel-Kontorova 模型。此处我考虑构型为 $u:\mathbb{Z}^r \rightarrow \mathbb{R}^d$ 的模型，其中 $d$ 为准晶体的维度，对任意 $r$ 和 $d$ 成立。用于势的几乎周期函数称为模式等变（pattern-equivariant）函数，并且我证明，若模型相互作用满足温和的 $C^2$ 要求，且势满足温和的非退化假设，则存在任意给定旋转数/向量/平面的平衡构型。这些假设足够一般，可涵盖经典 Frenkel-Kontorova 模型及其多维类比。证明使用了反可积极限的思想。