关于 Gabitov--Turitsyn 方程的 ill-posedness 问题

我们考察了 Gabitov--Turitsyn 方程的良好与不良可解性理论，该方程建模了离散管理光纤中脉冲的长期动力学。我们识别出两个临界正则性，对应两个缩放伪对称性，划分了不良可解性的不同 regime。首先，我们识别出 $s_m = \tfrac{d}{2} - \tfrac{2}{p}$，与单项式 NLS 一致。对于 $s \geq \max(s_m,0)$，已知在 $H^s$ 空间中局部良好可解；而对于 $s < s_m$，我们证明数据到解的映射在 $H^s$ 空间中不可 $C^{p+1}$。其次，我们识别出 $s_i = \tfrac{d}{2} - \tfrac{4}{p}$，低于该值我们推测会发生范数膨胀。我们在 $s < \min (s_i, 0)$ 的情况下（具体为一维三次模型）以及 $1 \leq s < s_i$ 的情况下解决了该猜测。在 $s_i \geq 1$ 的情况下，我们通过表明合适解在能量在动能与势能之间进行快速再分配（energy equipartition）来建立范数膨胀。