矩阵在指数级大集合上的基枚举

在处理矩阵 ${\mathcal M}=(U,{\mathcal I})$ 时，通常假设其通过独立性（IND）oracle 隐式给出。许多现有算法的时间复杂度均以 $|U|$ 和 IND-oracle 的运行时间为多项式界限。然而，当 $U$ 在某些情境下呈指数级增长时，这些算法便不再高效。本文提出两种基枚举算法，其时间复杂度不依赖于 $|U|$。对于给定整数 $L$，第一个算法以递增多项式时间枚举前 $L$ 个最小权基，其余基以多项式延迟时间枚举。为设计该算法，我们假设除 IND-oracle 外另引入两个 oracle：返回最小基的 MinB-oracle，以及按权重非递减顺序逐个返回相关元素的 REL-oracle。所提算法可用于来自循环空间和割空间的二进制矩阵的最小基枚举，这些矩阵的 $U$ 相对于给定图而言呈指数级增长。在此背景下，为设计割空间的 REL-oracle，我们首次提出一种以多项式延迟时间枚举给定图所有相关割（按权重非递减顺序）的算法。第二个算法则枚举线性无关的 $r$ 维 $r$ 向量（在 $\mathit{GF}(2)$ 上），从而立即得到一种以矩阵秩 $r$ 为复杂度基准、枚举二进制矩阵所有未加权基（元素闭合于加法）的多项式延迟时间算法。