独立过程之积的熵率

我们研究了经典Furstenberg滤波问题的乘法版本，其中考虑的不再是和$\mathbf{X}+\mathbf{Y}$而是积$\mathbf{X}\cdot \mathbf{Y}$（$\mathbf{X}$与$\mathbf{Y}$为双侧、实值、有限值、平稳独立过程，$\mathbf{Y}$取值于$\{0,1\}$）。我们给出了$\mathbf{H}(\mathbf{X}\cdot\mathbf{Y}|\mathbf{Y})$的公式。作为推论，我们证明了若$\mathbf{H}(\mathbf{X})>\mathbf{H}(\mathbf{Y})=0$且$\mathbf{X}\amalg \mathbf{Y}$，则只要$\mathbf{X}$不是双侧确定性的、$\mathbf{Y}$是遍历的且$\mathbf{Y}$首次回到$1$能以正概率任意迟地发生，就有$\mathbf{H}(\mathbf{X}\cdot \mathbf{Y})<\mathbf{H}(\mathbf{X})$（从而无法从$\mathbf{X}\cdot\mathbf{Y}$中滤出$\mathbf{X}$）。另一方面，若几乎必然地$\mathbf{Y}$沿一固定差的无穷算术级数访问$1$（其间可能另有访问），则我们可找到非双侧确定性的$\mathbf{X}$使得$\mathbf{H}(\mathbf{X}\cdot\mathbf{Y})=\mathbf{H}(\mathbf{X})$。作为推论，$\mathscr{B}$-自由系统$(X_\eta,S)$是邻近的，当且仅当对任意对应于正熵非双侧确定性过程的$\kappa$总有熵降$h(\kappa\ast\nu_\eta)<h(\kappa)$。这些结果部分解决了关于$\mathscr{B}$-自由系统不变测度的一些公开问题。