偶数欧几里得格（如利奇格）中的纠缠门

欧几里得（嵌入 $\mathbb{R}^n$ 中）稠密格的自同构群，例如根格 $D_4$ 和 $E_8$、Barnes-Wall 格 $BW_{16}$、幺模格 $D_{12}^+$ 和利奇格 $\Lambda_{24}$，可以由相应维度的纠缠量子门生成。这些（实）门/格对量子纠错很有用：例如，两比特和四比特实 Clifford 群分别是格 $D_4$ 和 $BW_{16}$ 的自同构群，而三比特实 Clifford 群是 Weyl 群 $W(E_8)$ 中的极大子群。从技术上讲，格 $\Lambda$ 的自同构群 $Aut(\Lambda)$ 是正交矩阵 $B$ 的集合，使得在格生成矩阵的共轭作用后，输出矩阵是幺模的（行列式为 $\pm 1$，元素为整数）。当度数 $n$ 等于 $\Lambda$ 的基元素个数时，$Aut(\Lambda)$ 也作用于基向量，并由矩阵 $B$ 生成，使得一行中平方项之和为 1，即 $B$ 可被视为一个量子门。对于上面列出的稠密格，会出现最大多体纠缠。特别地，在 $E_8$ 中发现了一个平衡的三体纠缠（二体和三体纠缠度具有相等的值 1/4），在 $BW_{16}$ 中发现了一个 GHZ 类型的纠缠。在本文中，我们还研究了来自 $D_{12}^+$ 和 $\Lambda_{24}$ 的纠缠门，分别将它们视为耦合一个 qutrit 到两比特和三比特的系统。除了量子计算外，这项工作可能还与粒子物理学有关，其精神源于 \cite{PLS2010}。