充实循环结构与排列的根

本文关注 r 规则排列与 r 循环排列之间的二元性，以及 B\'ona-McLennan-White 对随机排列概率 $p_r(n)$ 的单调性质，即从集合 $\{1,2,\ldots, n\}$ 中随机抽取一个排列恰好具有 r 次根，其中 r 为素数。对于 r=2，二元性将具有奇数循环的排列与具有偶数循环的排列联系起来。为处理一般情况 $r\geq 2$，我们定义 r 丰富排列为具有 r 单数循环并由颜色 $1, 2, \ldots, r-1$ 之一着色的排列。在此设置下，我们发现 r 规则排列与丰富 r 循环排列之间存在一一对应关系，这进而得出 B\'ona-McLennan-White 不等式的强化版本。这导致了对单调性质的完全组合学理解，从而回答了他们的问题。当 r 为素数幂 $q^l$ 时，我们进一步证明 $p_r(n)$ 为单调的。在 $n+1 \not\equiv 0 \pmod q$ 的情况下，Chernoff 已建立等式 $p_r(n)=p_r(n+1)$。