准平衡流中的能量通量

我们考察了由 Kraichnan (1973) 预测的谱截断 Euler 方程 (TEE) 的绝对平衡状态与谱截断 Navier-Stokes (TNS) 方程的受迫耗散流之间的关系。在这两种理想化系统中均保留位于半径 $k_{max}$ 球内的有限个 Fourier 模态，但前者守恒能量，而后者中能量由体积力 $\bf{f}$ 注入并由粘性 $\nu$ 耗散。对于以能量注入率 $\mathcal{I}_\mathcal{E}$ 随机强迫的 TNS 系统，我们利用 Fokker-Planck 方程渐近展开证明，在小 $k_{max}\eta$ 极限下（其中 $\eta=(\nu^3/\mathcal{I}_\mathcal{E})^{1/4}$ 为 Kolmogorov 长度尺度），流动趋近于 Kraichnan 的绝对平衡解，其有效“温度”使得能量注入与能量耗散率相平衡。数值模拟验证了模型对小 $k_{max}\eta$ 值的预测。对于中间 $k_{max}\eta$ 值，观察到从准平衡“热”态到 Kolmogorov 湍流的转变。若强迫作用于小尺度而耗散仅作用于大尺度，则对所有 $\nu$ 值各尺度均出现均分谱。两种情况下即使流动接近平衡态解时也存在有限的前向或逆向通量。然而，不同于发展出平均能量通量远大于其涨落的典型湍流，准平衡态的平均能量通量相对于所观测到的大通量涨落是次主导的。