与水波相关的一类 Dirichlet 到 Neumann 问题的能量渐近性

我们考虑在水波模型中出现的 Dirichlet 到 Neumann 算子 $\mathcal{L}_a$,其中非局部参数 $a\in(-1,1)$。我们根据傅里叶变换推导出该算子的表达式,突出了其在小频率下的局部行为和大频率下的非局部行为。我们进一步研究方程 $\mathcal{L}_a(u)=W'(u)$ 所关联能量的 $\Gamma$-收敛,其中 $W$ 是一个双阱势。当 $a\in(-1,0]$ 时,能量 $\Gamma$-收敛到经典周长;而当 $a\in(0,1)$ 时,$\Gamma$-极限是一个新的非局部算子,在维数 $n=1$ 时插值于经典周长与非局部周长之间。