仿射空间中超曲面的嵌入

在本文中，我们处理以下两个一般性问题：给定 ${\bf C}^n$ 中的两个代数簇，判定它们是否（1）同构；（2）在 ${\bf C}^n$ 的一个自同构下等价。尽管目前对这两个问题中的任一个给出完全解都无从谈起，我们在此给出同构簇以及等价簇的一些简便而有用的不变量。此外，更重要的是，我们给出一种通用方法以获得所有可能与给定簇同构的代数簇，并用它构造出 ${\bf C}^n$ 中大量同构但不等价的代数簇实例。特别地，我们确立如下有趣事实：对于同构超曲面 $\{p(x_1,...,x_n)=0\}$ 与 $\{q(x_1,...,x_n)=0\}$，$grad(p)$ 的零点数可能不同于 $grad(q)$ 的零点数。