非线性不可逆问题中的 $\ell_{1}^{2}-\eta\ell_{2}^{2}$ 稀疏正则化

本研究探讨了在非线性不可逆问题中采用 $\left\|·\right\|_{\ell_{1}}^{2}-\eta\left\|·\right\|_{\ell_{2}}^{2}$ 稀疏正则化方法，其中 $0< \eta\leq 1$。我们重点考察了该正则化方法所对应的良好可解性。值得注意的是，当 $\eta=1$ 时，由于缺乏一致性和 Radon-Riesz 性质，理论结果较弱；而 $0< \eta<1$ 时则不同。 在针对算子 $F$ 的特定非线性条件下，我们证明该正则化方法的每个最小化器都具有稀疏性。此外，对于 $0< \eta<1$ 的情形，我们在 $F$ 的不同但被广泛接受的非线性条件下，分别证明了针对稀疏精确解的正则化解的收敛速率为 $\mathcal{O}\left(\delta^{1/2}\right)$ 和 $\mathcal{O}\left(\delta\right)$。我们还提出了一种用于求解非线性不可逆方程组中 $\left\|·\right\|_{\ell_{1}}^{2}-\eta\left\|·\right\|_{\ell_{2}}^{2}$ 正则化的迭代半变分算法。数值实验结果表明，所提方法有效。