圆群中$\mathcal I$-特征子群的元素级描述

根据Cartan的说法，给定$\mathbb N$的理想$\mathcal I$，若序列$(x_n)_{n\in\mathbb N}$在圆群$\mathbb T$中满足：对$\mathbb T$中任意邻域$U$的$x\in\mathbb T$，都有$\{n\in\mathbb N: x_n \not \in U\}\in\mathcal I$，则称该序列$\mathcal I$-收敛于点$x$。对于序列$mathbf u=(u_n)_{n\in\mathbb N}$在$\mathbb Z$中，定义$$t_{\mathbf u}^\mathcal I(\mathbb T) :=\{x\in\mathbb T: u_nx \ \text{$\mathcal I$-收敛于}\ 0 \}.$$该集合是$\mathbb T$的一个Borel（因此是Polishable）子群，具有许多良好性质，主要在当$\mathcal I =\mathcal F in$时进行研究（即$\mathcal F in$-收敛等价于常规收敛），以其与拓扑代数、描述集合论和谱分析之间的精妥联系。我们在$u_n|u_{n+1}$对每个$n\in\mathbb N$成立且$\mathcal I$满足适当假设时，对$t_{\mathbf u}^\mathcal I(\mathbb T)$给出完整的元素级描述。在特殊情况下当$\mathcal I =\mathcal F in$时，我们获得了对已知结果简化版本的另一证明。