高效更新协方差矩阵及其 LDL 分解

本文给出若干方程，可高效更新或降阶更新大量 $m$ 维观测值的协方差矩阵。对协方差矩阵的更新、降阶更新以及混合更新/降阶更新，均被证明为秩-$k$ 修正，其中 $k$ 为新增观测数加上移除的旧观测数。因此，更新与降阶更新方程将一次修正所需的乘法次数从 $\Theta((n+k+1)m^2)$ 或 $\Theta((n-k+1)m^2)$（其中 $n$ 为初始观测数）降低至 $\Theta((k+1)m^2)$。拥有更新的秩-$k$ 公式亦允许应用若干其他已知恒等式，从而提供一种直接将更新与降阶更新作用于协方差矩阵之逆及其分解的方法。作为示例，我们给出一种将秩-$k$ 更新应用于协方差矩阵 LDL 分解的高效算法。