对称正定$\mathcal{H}^2$矩阵HSS预条件子的高效构造
数值分析
2021-01-13 v2 数值分析
摘要
在求解具有病态、对称正定（SPD）核矩阵的线性系统的迭代方法中，既需要快速的矩阵-向量乘，也需要快速的预条件操作。通过将该核矩阵表示为形式或等价的快速多极方法形式，可获得快速（线性复杂度）的矩阵-向量乘。然而，对此类矩阵进行预条件需要一种比表示更规则的结构化矩阵近似，例如提供快速求解操作的层次半可分（HSS）矩阵表示。此前已有一种算法可构造保证为SPD的核矩阵HSS近似，但该算法具有二次代价，且仅针对定义核矩阵的点之递归二分划分而设计。本文给出一种构造SPD HSS近似的通用算法。重要的是，该算法利用SPD矩阵的表示将其计算复杂度由二次降为拟线性。数值实验说明了该SPD HSS近似作为预条件子求解由一系列核函数导出的线性系统时的表现。
引用
@article{arxiv.2011.07632,
title = {Efficient construction of an HSS preconditioner for symmetric positive definite $\mathcal{H}^2$ matrices},
author = {Xin Xing and Hua Huang and Edmond Chow},
journal= {arXiv preprint arXiv:2011.07632},
year = {2021}
}