拟最优分层半可分离矩阵逼近

本文提出一种随机算法，仅使用矩阵 $A$ 及其转置 $A^T$ 的矩阵-向量乘积，即可生成对 $N\times N$ 矩阵 $A$ 的拟最优分层半可分离（HSS）逼近。我们证明，使用 $O(k \log(N/k))$ 次矩阵-向量乘积和 ${O}(N k^2 \log(N/k))$ 的额外运行时间，该算法返回一个具有 rank-$k$ 块的 HSS 矩阵 $B$，其期望 Frobenius 范数误差 $\mathbb{E}[\|A - B\|_F^2]$ 最多比 HSS rank-$k$ 矩阵所能达到的最优逼近误差差 $O(\log(N/k))$ 倍。实际上，我们分析的算法是对 [Levitt & Martinsson, SISC 2024] 提出的经验有效方法的简单修改。作为主要结果的垫脚石，我们证明了两个独立感兴趣的结果：对于直接访问 $A$ 元素的算法变体的类似保证，以及使用投影成本保持素描进行近最优子空间逼近的显式误差界。据我们所知，我们的分析构成了 HSS 矩阵逼近的首个多项式时间拟最优性结果，无论是在显式访问模型还是在矩阵-向量乘积查询模型中。