简单 ${\mathcal H}$-矩阵系统的精确求解器

层次矩阵（通常缩写为 ${\mathcal H}$-矩阵）常被用于构建线性方程组的预条件子。由于在 ${\mathcal H}$-矩阵表示下仅需 ${\mathcal O}(n \log^2 n)$ 次运算即可计算近似逆或 $LU$ 分解，这些预条件子可以非常高效。在此，我们考虑一种算法，该算法允许使用 ${\mathcal O}(n \log^2 n)$ 次运算精确求解以简单 ${\mathcal H}$-矩阵格式给出的线性方程组。我们方法的核心思想是避免计算逆矩阵，而是利用基于著名的 Sherman-Morrison-Woodbury 方程执行的秩低更新，使用 $LU$ 分解的高效表示。