$\Delta_2$ 凝聚集上 $\omega$ 的有效幂与无 $\Delta_2$ 凝聚子集的无限 $\Pi_1$ 集

一个可计算结构的凝聚幂是一种有效超幂，其中凝聚集充当超滤子。令 $\omega$、$\zeta$ 和 $\eta$ 分别表示自然数、整数和有理数的序型。我们研究 $\omega$ 的可计算副本在 $\Delta_2$ 凝聚集上的凝聚幂。我们证明存在 $\omega$ 的一个可计算副本 $\mathcal{L}$，使得对于每个 $\Delta_2$ 凝聚集 $C$，$\mathcal{L}$ 在 $C$ 上的凝聚幂具有序型 $\omega + \eta$。这改进了 Dimitrov、Harizanov、Morozov、Shafer、A. Soskova 和 Vatev 的早期结果，将其从 $\Sigma_1$ 凝聚集推广到 $\Delta_2$ 凝聚集，并计算出一个在所有 $\Delta_2$ 凝聚集上都具有所需凝聚幂的 $\omega$ 的单一副本。此外，我们的结果在 $\Delta_2$ 不能被 $\Pi_2$ 替代的意义上是最优的。更一般地，我们证明若 $X \subseteq \mathbb{N} \setminus \{0\}$ 是 $\Sigma_2$ 集的布尔组合，并将其视为有限序型的集合，则存在 $\omega$ 的一个可计算副本 $\mathcal{L}$，使得 $\mathcal{L}$ 在任何 $\Delta_2$ 凝聚集上的凝聚幂具有序型 $\omega + \sigma(X \cup \{\omega + \zeta\eta + \omega^*\})$。若 $X$ 是有限且非空的，则也存在 $\omega$ 的一个可计算副本 $\mathcal{L}$，使得 $\mathcal{L}$ 在任何 $\Delta_2$ 凝聚集上的凝聚幂具有序型 $\omega + \sigma(X)$。我们工作的一个意外副产品是构造无 $\Delta_2$ 凝聚子集的无限 $\Pi_1$ 集的新方法。事实上，我们构造了一个没有 $\Delta_2$ p-凝聚子集的无限 $\Pi_1$ 集。无 $\Delta_2$ r-凝聚子集的无限 $\Pi_1$ 集推广了 D. Martin 经典的没有极大超集的余无限 c.e. 集，并出现在 Lerman、Shore 和 Soare 的工作中。