叶状曲面中的沸腾现象与引力结团

对于曲面，我们勾勒出一幅关于基本群对叶状动力学复杂性影响的相当清晰的图景。一个隐喻浮现出来，即通过固态-液态-气态的相变。秩为$0\le r\le 1$的群处于冻结状态，非传递性无处不在。当$2\le r \le 3$时，果酱开始在液相中沸腾，两种状态（传递或非传递）根据具体拓扑结构交织在一起。一旦$r\ge 4$，我们便达到气态-挥发相，此时任何有限连通度量曲面都是传递叶状的。这一图景可非度量地扩展，正如将冻结构型放入冰箱会使其保持冻结状态。Gromov曾问：{\it 没有度量的生命存在吗？}，是的，当然存在，但或许只有冰冷永恒的生命才值得过。这一图景由微观尺度上的引力坍缩情景（源于Baillif）所权衡，当涉及Pr"ufer型曲面（如R.\,L. Moore或Calabi-Rosenlicht曲面）时，该情景决定了叶状形态。