数划分问题量子绝热演化算法的动力学

我们发展了一种通用技术，用于在问题规模 $n$ 很大的渐近极限下研究应用于随机组合优化问题的量子绝热演化算法的动力学。我们以 NP 完全的数划分（Number Partitioning）问题为例，将该算法动力学映射为一个具有缓慢变化哈密顿量的辅助量子自旋玻璃系统的动力学。我们使用格林函数方法获得绝热本征态和最小激发能隙 $g_{\rm min}={\cal O}(n 2^{-n/2})$，对应于数划分问题的指数级算法复杂度。分析的关键要素是：对于由给定（祖先）构型通过同时翻转固定数目自旋所生成的所有自旋构型集合，计算其条件能量分布。对于所讨论的问题，该分布被证明仅通过某个与构型能量相关的参数依赖于祖先自旋构型。因此，该算法动力学可用能量空间中的一维量子扩散来描述。这一效应为随机优化问题中量子绝热计算的能力提供了一般性限制。解析结果与算法的数值模拟一致。