完全格上保上确界自映射的对偶化

在（Eklund 等人，2018）中论证了完全格 L 的保上确界自映射的 quantale [L,L] 恰为 Girard quantale 当且仅当 L 是完全分配格。我们在（Santocanale，2020）中论证了该 Girard quantale 结构源于 L 的保下确界自映射的对偶 quantale，经由 Raney 变换，并扩展到 SLatt（完全格与保上确界映射的范畴）的全子范畴上的 Girard quantaloid 结构，其对象为完全分配格。本次报告的 goal 是进一步阐明 quantale 结构、Raney 变换与完全分配性之间的这一联系。Raney 变换确实是 isomix 范畴 SLatt 中的 mix 映射，且大部分理论可基于这些映射的自然性建立。随后我们通过研究 [L,L] 的对偶化元素，补全了（Santocanale，2020）中关于 [L,L] 的循环元素的注记。我们论证若 [L,L] 具有 Frobenius quantale 的结构，即若其有一个对偶化元素（不必是循环的），则 L 再次为完全分配格。由此从关于对合剩余格的一般陈述可得，[L,L] 的对偶化元素与 L 的自同构之间存在双射。最后，我们还论证若 L 有限且 [L,L] 自对偶，则 L 是分配格。