p-调和函数梯度的对偶性与梯度曲线的存在性
度量几何
2025-02-04 v1 偏微分方程分析
摘要
每个凸优化问题都有一个对偶问题。度量测度空间中的 p-狄利克雷问题是一个优化问题，其解为 p-调和函数。它的对偶问题是什么？本文以下述形式给出了该问题的答案。我们给出了一个广义模问题，其解是度量测度空间中 p-调和函数的梯度。它的对偶问题是关于曲线上测度的优化问题，我们在适当的假设下证明了精确对偶性以及该对偶问题极小化子的存在性。当应用于 p-调和函数时，该对偶问题的极小化子支撑在梯度曲线上，从而产生了一个与这类函数相关的、尚待研究的自然概念。这一过程定义了一个自然的对偶度量流，并证明了梯度曲线的存在性。这些见解随后被用于构造一个反例，以回答度量空间上古老的“层问题”：与欧几里得空间相反，在一般度量空间中，p-调和性严格来说并非一个局部性质。
引用
@article{arxiv.2502.01301,
title = {Duality for the gradient of a $p$-harmonic function and the existence of gradient curves},
author = {Sylvester Eriksson-Bique and Saara Sarsa},
journal= {arXiv preprint arXiv:2502.01301},
year = {2025}
}