拉格朗日函数与 Rockafellian 之间的对偶性
最优化与控制
2023-03-13 v2
摘要
Rockafellar 在其专著《共轭对偶与优化》中提出了一种“扰动 + 对偶”方法，以为原最小化问题获得对偶问题。首先，将最小化问题嵌入一族扰动问题（从而给出所谓的扰动函数）；近来，将被最小化原函数的扰动称为 Rockafellian。其次，当扰动变量属于通过与对偶向量空间由双线性形式配对的原向量空间时，由 Rockafellian 构建拉格朗日函数；同时也获得所谓的对偶函数（及对偶问题）。该方法已从 Fenchel 对偶扩展至广义凸性：当扰动属于通过与对偶集由耦合函数配对的原集时，也可由拉格朗日函数构建 Rockafellian。循此路径，我们凸显了拉格朗日函数与 Rockafellian 之间的对偶性。上述材料主要聚焦于从 Rockafellian 到拉格朗日函数，而我们同等对待二者并给出双向的公式。我们提出拉格朗日-Rockafellian 偶对的定义。我们将后者刻画为关于耦合的对偶函数，并以广义凸函数术语刻画。扰动函数与对偶函数之间的对偶性则并非如此清晰分明。
引用
@article{arxiv.2211.13083,
title = {Duality Between Lagrangians and Rockafellians},
author = {Michel de Lara},
journal= {arXiv preprint arXiv:2211.13083},
year = {2023}
}