二维局部域上的对偶性与局部-全局原理

设 $k$ 为代数闭域、有限域或 $p$-进域。设 $K_0=k((x,y))$ 为 $k$ 上两变量洛朗级数域。我们通过来自 $\text{Spec}\; k[[x,y]]$ 的余维 1 点所导出的 $K_0$ 的每个完备化上局部平凡的上同调类，定义 $K_0$ 上交换群概形的 Tate-Shafarevich 群。我们建立了有限群概形与环面的 Tate-Shafarevich 群之间的对偶定理。我们将这些结果应用于研究连通线性代数群下的 $K_0$-扭子的局部-全局原理的障碍，从而回答了 Colliot-Th\'el\`ene、Parimala 和 Suresh 的一个问题，并应用于 $K_0$ 上环面的弱逼近。Soit $k$ un corps alg\'ebriquement clos, un corps fini, ou encore un corps $p$-adique. Soit $K_0=k((x,y))$ le corps des s\'eries de Laurent \`a deux variables sur $k$. On d\'efinit les groupes de Tate-Shafarevich d'un $K_0$-sch\'ema en groupes commutatif en consid\'erant les classes de cohomologie qui deviennent triviales sur chaque compl\'et\'e de $K_0$ provenant d'un point codimension 1 de $\text{Spec}\; k[[x,y]]$. On \'etablit des th\'eor\`emes de dualit\'e arithm\'etique entre des groupes de Tate-Shafarevich pour les modules finis et pour les tores. On applique ces r\'esultats \`a l'\'etude du principe local-global pour les $K_0$-torseurs sous un groupe lin\'eaire connexe, r\'epondant ainsi \`a une question de Colliot-Th\'el\`ene, Parimala et Suresh, ainsi qu'\`a l'approximation faible pour les tores sur $K_0$.